Amazon Fire はOSとしてAndroidを使っていますので，Android用アプリがインストールできれば，VPNも利用可能です。
マウス（Bluetoothマウス）による操作が必要
ご留意事項としましては，VPNを接続するときに リモコンではなく，マウス（Bluetoothマウス）による操作が必要になる可能性があります。
参考ページ
「Fire TV では Bluetooth マウスの準備を」
アマゾン アカントの国設定を確認
アプリをインストールするために，アマゾンアカウントが中国になっていますとアプリをインストールできません。
下記を参考にアカウントの国設定を確認してください。
参考ページ
Amazonアカウントの居住国の設定を更新する
対応アプリ
Amazon Fire TV Stick 用アプリとしましては，OpenConnect方式のアプリ Cisco AnyConnect が公開されています。
Amazon アプリストア
Cisco AnyConnect
上記アプリがバージョンの問題でFireにインストールできない場合，OpenConnect方式用アプリ，Trojan-GFW方式用アプリをダウンロードして，野良アプリとしてインストールする方法があります。
参考ページ
【Fire TV Stick】野良アプリをインストールする方法【apk】
また，各アプリのダウンロード先はAndroid用の各設定ページ中にございます」。
設定一覧
AnyConnectの設定方法
ここではストアから入手できる AnyConnect アプリの設定方法を解説します。
起動後の画面です。
右上 [ ︙ ] マークをタップ
[設定] を選択
すべての□からチェックを外します。
右下 [ + ] を選択
[説明]欄 ： 適当な任意の名称。ここでは KABENEKO としました。
[サーバーアドレス]欄 ： ユーザーページからOpenConnect方式専用サーバーのIPアドレスを入力。必ず半角の数字及びドット「 . 」のみを使ってください。前後に空白が入らないようにしてください。
[完了]ボタンをタップしてメイン画面に戻ります。
[接続]には，さきほど設定した説明が表示されています。
[AnyConnect VPN] ボタンをスライド
セキュリティの確認画面が現れます。
[続行] を選択
ボタンの色が変化します。また，鍵マークが閉じます。
YouTube等に接続できることをご確認ください。，
以上